Un mètode simbòlic per calcular circuits de CA

Un mètode simbòlic d'operacions amb magnituds vectorials es basa en una idea molt senzilla: cada vector es descomposa en dos components: un horitzontal, que passa per l'abscissa, i el segon, vertical, que passa per l'ordenada. En aquest cas, totes les components horitzontals segueixen una línia recta i es poden afegir per simple suma algebraica, i les components verticals s'afegeixen de la mateixa manera.

Aquest enfocament generalment dóna lloc a dues components resultants, una horitzontal i una vertical, que sempre estan adjacents l'una a l'altra amb el mateix angle de 90°.

Aquests components es poden utilitzar per trobar el resultat, és a dir, per a la suma geomètrica. Les components rectangles representen els catets d'un triangle rectangle, i la seva suma geomètrica representa la hipotenusa.

També es pot dir que la suma geomètrica és numèricament igual a la diagonal d'un paral·lelogram construït sobre les components així com sobre els seus costats... Si la component horitzontal es denota amb AG i la component vertical amb AB, aleshores la suma geomètrica ( 1)

Trobar la suma geomètrica dels triangles rectangles és molt més fàcil que els triangles oblics. És fàcil veure que (2)

es converteix en (1) si l'angle entre els components és de 90 °. Com que cos 90 = 0, l'últim terme de l'expressió radical (2) desapareix, com a resultat de la qual cosa l'expressió es simplifica molt. Tingueu en compte que abans de la paraula "suma" cal afegir una de les tres paraules: "aritmètica", "algebraica", "geomètrica".

Fig. 1.

La paraula "import" sense especificar què comporta incertesa i, en alguns casos, errors greus.

Recordem que el vector resultant és igual a la suma aritmètica dels vectors en el cas que tots els vectors van al llarg d'una línia recta (o paral·leles entre si) en la mateixa direcció. A més, tots els vectors tenen un signe més (Fig. 1, a).

Si els vectors van per una línia recta però apunten en direccions oposades, aleshores el seu resultat és igual a la suma algebraica de vectors, en aquest cas alguns termes tenen un signe més i d'altres un signe menys.

Per exemple, al diagrama de la fig. 1, b U6 = U4 — U5. També podem dir que la suma aritmètica s'utilitza en els casos en què l'angle entre els vectors és zero, algebraic quan els angles són 0 i 180 °. En tots els altres casos, la suma es realitza vectorialment, és a dir, es determina la suma geomètrica (Fig. 1, c).

Exemple... Determineu els paràmetres de l'ona sinusoïdal equivalent per al circuit Fig. 2, però simbòlic.

Respon. Dibuixem vectors Um1 Um2 i els descompondrem en components. Des del dibuix es pot veure que cada component horitzontal és el valor vectorial multiplicat pel cosinus de l'angle de fase, i la vertical és el valor vectorial multiplicat pel sinus de l'angle de fase. Aleshores

Fig. 2.

Òbviament, les components horitzontals i verticals totals són iguals a les sumes algebraiques de les components corresponents. Aleshores

Els components resultants es mostren a la Fig. 2, b. Determineu el valor de Um per a això, calculeu la suma geomètrica de les dues components:

Determineu l'angle de fase equivalent ψeq. Fig. 2, b, es pot veure que la relació de la component vertical a la horitzontal és la tangent de l'angle de fase equivalent.

on

El sinusoide així obtingut té una amplitud de 22,4 V, una fase inicial de 33,5 ° amb el mateix període que les components. Tingueu en compte que només es poden afegir ones sinusoïdals de la mateixa freqüència, perquè en afegir corbes sinusoïdals de freqüències diferents, la corba resultant deixa de ser sinusoïdal i tots els conceptes aplicables només als senyals harmònics esdevenen invàlids en aquest cas.

Anem a resseguir una vegada més tota la cadena de transformacions que s'han de fer amb les descripcions matemàtiques de les formes d'ona harmòniques en realitzar diversos càlculs.

En primer lloc, les funcions temporals es substitueixen per imatges vectorials, després cada vector es descompon en dos components mútuament perpendiculars, després es calculen les components horitzontal i vertical per separat i, finalment, es determinen els valors del vector resultant i la seva fase inicial.

Aquest mètode de càlcul elimina la necessitat de sumar gràficament (i en alguns casos realitzar operacions més complexes, per exemple, multiplicar, dividir, extreure arrels, etc.) corbes sinusoïdals i recórrer a càlculs mitjançant les fórmules de triangles oblics.

Tanmateix, és bastant complicat calcular els components horitzontals i verticals de l'operació per separat.En aquests càlculs, és molt convenient tenir un aparell matemàtic amb el qual podeu calcular els dos components alhora.

Ja a finals del segle passat es va desenvolupar un mètode que permet càlculs simultanis de nombres representats en eixos perpendiculars entre si. Els nombres de l'eix horitzontal es deien reals i els nombres de l'eix vertical s'anomenaven imaginaris. En calcular aquests nombres, s'afegeix un factor de ± 1 als nombres reals, i ± j als nombres imaginaris (llegiu "xi"). Els nombres formats per parts reals i imaginàries s'anomenen complex, i el mètode de càlcul realitzat amb la seva ajuda és simbòlic.

Expliquem el terme «simbòlic». Les funcions a calcular (harmònics en aquest cas) són originals, i aquelles expressions que substitueixen les originals són imatges o símbols.

Quan s'utilitza el mètode simbòlic, tots els càlculs es realitzen no sobre els originals en si, sinó sobre els seus símbols (imatges), que en el nostre cas representen els nombres complexos corresponents, ja que és molt més fàcil fer operacions sobre imatges que sobre els mateixos originals.

Després de completar totes les operacions d'imatge, l'original corresponent a la imatge resultant s'enregistra a la imatge resultant. La majoria dels càlculs en circuits elèctrics es fan mitjançant el mètode simbòlic.