Per què s'utilitzen nombres complexos per als càlculs en circuits de CA

Com sabeu, els nombres complexos s'utilitzen per resoldre alguns problemes típics de l'enginyeria elèctrica. Però per a què serveixen i per què es fa així? Això és el que intentarem entendre al llarg d'aquest article. El fet és que el mètode complex o el mètode d'amplituds complexes és convenient per calcular circuits de CA complexos. I per començar, recordem alguns conceptes bàsics de matemàtiques:

Com podeu veure, el nombre complex z inclou la part imaginària i la part real, que es diferencien entre si i es denoten de manera diferent al text. El nombre complex z es pot escriure en forma algebraica, trigonomètrica o exponencial:

Antecedents històrics

Es creu que la idea dels nombres imaginaris va començar l'any 1545, quan el matemàtic, enginyer, filòsof, metge i astròleg italià Girolamo Cardano va publicar aquest mètode de resolució d'equacions en el seu tractat "El gran art", on, segons entre d'altres , va admetre que Niccolò li havia donat la idea a Tartaglia (un matemàtic italià) 6 anys abans de la publicació d'aquest treball. En el seu treball, Kradano resol equacions de la forma:

En el procés de resolució d'aquestes equacions, el científic es va veure obligat a admetre l'existència d'algun nombre «irreal», el quadrat del qual serà igual a menys un «-1», és a dir, com si hi hagués una arrel quadrada d'un nombre negatiu, i si ara està al quadrat, serà el nombre negatiu corresponent sota l'arrel. Cardano va declarar la regla de la multiplicació, segons la qual:

Durant tres segles, la comunitat matemàtica va estar en procés d'acostumar-se al nou enfocament proposat per Cardano. Els nombres imaginaris estan arrelant gradualment, però els matemàtics són reticents a acceptar. No va ser fins a la publicació dels treballs de Gauss sobre àlgebra, on va demostrar el teorema fonamental de l'àlgebra, que finalment els nombres complexos van ser totalment acceptats, el segle XIX era a prop.

Els nombres imaginaris es van convertir en un autèntic salvavides per als matemàtics perquè els problemes més complexos es van fer molt més fàcils de resoldre acceptant l'existència de nombres imaginaris.

Així que aviat va arribar a l'enginyeria elèctrica. Els circuits de CA de vegades eren molt complexos i s'havien de calcular moltes integrals per calcular-los, cosa que sovint era molt inconvenient.

Finalment, el 1893, el brillant enginyer elèctric Carl August Steinmetz va parlar a Chicago al Congrés Electrotècnic Internacional amb un informe "Els números complexos i la seva aplicació a l'enginyeria elèctrica", que va marcar l'inici de l'aplicació pràctica per part dels enginyers del mètode complex de càlcul de circuits elèctrics per a corrent alterna.

Això ho sabem pel curs de física corrent altern — Aquest és un corrent que canvia amb el temps tant en magnitud com en direcció.

En tecnologia, hi ha diferents formes de corrent altern, però el més comú avui en dia és el corrent sinusoïdal altern, això és el que s'utilitza arreu, amb l'ajuda del qual es transmet electricitat, en forma de corrent altern, que es genera, convertida per transformadors i és consumida per les càrregues. Un corrent sinusoïdal canvia periòdicament segons una llei sinusoïdal (harmònica).

Els valors efectius del corrent i la tensió són inferiors als valors d'amplitud de l'arrel de dues vegades:

En el mètode complex, els valors efectius de corrents i tensions s'escriuen de la següent manera:

Tingueu en compte que en enginyeria elèctrica, la unitat imaginària es denota amb la lletra «j», ja que la lletra «i» ja s'utilitza aquí per indicar el corrent.

Des de Llei d'Ohm determina el valor complex de la resistència:

La suma i la resta de valors complexos es fa en forma algebraica, i la multiplicació i divisió en forma exponencial.

Considerem el mètode d'amplituds complexes utilitzant l'exemple d'un circuit específic amb determinats valors dels paràmetres principals.

Un exemple de resolució d'un problema amb nombres complexos

Donat:

• tensió de la bobina 50 V,

• resistència de la resistència 25 ohms,

• inductància de la bobina 500 mH,

• la capacitat elèctrica del condensador és de 30 microfarads,

• resistència de la bobina 10 ohms,

• freqüència de xarxa 50 Hz.

Trobeu: lectures d'amperímetre i voltímetre, així com wattmetre.

Resposta:

Per començar, anotem la resistència complexa dels elements connectats en sèrie, que consta de parts reals i imaginàries, després trobem la resistència complexa d'un element actiu-inductiu.

Recordant! Per obtenir la forma exponencial, trobeu el mòdul z igual a l'arrel quadrada de la suma dels quadrats de les parts real i imaginària, i phi igual a l'arctangent del quocient de la part imaginària dividida per la part real.

Aleshores trobem el corrent i, en conseqüència, les lectures de l'amperímetre:

Així, l'amperímetre mostra un corrent de 0,317 A, és a dir, el corrent a través de tot el circuit en sèrie.

Ara trobarem la resistència capacitiva del condensador, després determinarem la seva resistència complexa:

Aleshores calculem la impedància complexa total d'aquest circuit:

Ara trobem la tensió efectiva aplicada al circuit:

El voltímetre mostrarà una tensió efectiva de 19,5 volts.

Finalment, trobem la potència que mostrarà el vatímetre, tenint en compte la diferència de fase entre corrent i voltatge

El vatímetre mostrarà 3,51 watts.

Ara enteneu la importància dels nombres complexos en enginyeria elèctrica. S'utilitzen per al càlcul convenient de circuits elèctrics. Molts dispositius electrònics de mesura funcionen sobre la mateixa base.