Flux i circulació d'un camp vectorial

NBasat en els materials de conferències de Richard Feynman

Quan es descriuen les lleis de l'electricitat en termes de camps vectorials, ens trobem davant de dues característiques matemàticament importants del camp vectorial: el flux i la circulació. Seria bo entendre quins són aquests conceptes matemàtics i quin és el seu significat pràctic.

La segona part de la pregunta és fàcil de respondre immediatament perquè els conceptes de flux i circulació són al centre Equacions de Maxwell, sobre la qual es recolza realment tota l'electrodinàmica moderna.

Així, per exemple, la llei de la inducció electromagnètica es pot formular de la següent manera: la circulació del camp elèctric E al llarg d'un bucle tancat C és igual a la velocitat de canvi del flux del camp magnètic B a través de la superfície S limitada per aquesta. bucle B.

A continuació, descriurem de manera molt senzilla, utilitzant exemples clars i fluids, com es determinen matemàticament les característiques del camp, d'on s'obtenen aquestes característiques del camp.

Flux de camp vectorial

Per començar, dibuixem una determinada superfície tancada de forma totalment arbitrària al voltant de la zona en estudi. Després de representar aquesta superfície, ens preguntem si l'objecte d'estudi, que anomenem camp, flueix per aquesta superfície tancada. Per entendre de què es tracta, considereu un exemple líquid senzill.

Suposem que estem investigant el camp de velocitat d'un determinat fluid. Per a aquest exemple, té sentit preguntar-se: passa més fluid per aquesta superfície per unitat de temps del que flueix al volum delimitat per aquesta superfície? En altres paraules, la taxa de sortida sempre es dirigeix ​​principalment des de dins cap a fora?

Amb l'expressió "flux de camp vectorial" (i per al nostre exemple l'expressió "flux de velocitat del fluid" serà més precisa), acordarem anomenar la quantitat total de fluid imaginari que flueix per la superfície del volum considerat limitat per un determinat superfície tancada (per al cabal de fluid, quant fluid segueix del volum per unitat de temps).

Com a resultat, el flux a través de l'element superficial serà igual al producte de l'àrea de l'element superficial per la component perpendicular de la velocitat. Aleshores, el flux total (total) a través de tota la superfície serà igual al producte de la component normal mitjana de la velocitat, que comptarem de dins cap a fora, per la superfície total.

Ara tornem al camp elèctric. El camp elèctric, per descomptat, no es pot considerar la velocitat del flux d'algun líquid, però tenim dret a introduir un concepte matemàtic del flux, similar al que hem descrit anteriorment com el flux de la velocitat del líquid.

Només en el cas d'un camp elèctric, el seu flux es pot determinar per la component normal mitjana de la intensitat del camp elèctric E. A més, el flux del camp elèctric es pot determinar no necessàriament a través d'una superfície tancada, sinó a través de qualsevol superfície limitada. d'àrea diferent de zero S.

Circulació d'un camp vectorial

És ben conegut per tothom que, per a una major claredat, els camps es poden representar en forma de les anomenades línies de força, en cada punt de les quals la direcció de la tangent coincideix amb la direcció de la intensitat del camp.

Tornem a l'analogia del fluid i imaginem el camp de velocitat del fluid.Fem-nos una pregunta: el fluid circula? És a dir, es mou principalment en la direcció d'algun bucle tancat imaginari?

Per a una major claredat, imagineu que el líquid d'un recipient gran es mou d'alguna manera (Fig. A) i de sobte hem congelat gairebé tot el seu volum, però hem aconseguit deixar el volum sense congelar en forma de tub tancat uniformement en el qual no hi ha fricció del líquid a les parets (fig. b).

Fora d'aquest tub, el líquid s'ha convertit en gel i, per tant, ja no es pot moure, però dins del tub el líquid és capaç de continuar el seu moviment, sempre que hi hagi un impuls que l'impulsi, per exemple, en el sentit de les agulles del rellotge (Fig. . ° C). Aleshores, el producte de la velocitat del fluid al tub i la longitud del tub s'anomenarà velocitat de circulació del fluid.

De la mateixa manera, podem definir una circulació per a un camp vectorial, encara que de nou no es pot dir que el camp sigui la velocitat de res, podem definir, tanmateix, la característica matemàtica de la "circulació" al llarg d'un contorn.

Per tant, la circulació d'un camp vectorial al llarg d'un bucle tancat imaginari es pot definir com el producte de la component tangencial mitjana del vector en la direcció del pas del bucle, per la longitud del bucle.