Fonaments i lleis de l'àlgebra de la lògica
Matemàtic irlandès de mitjans del segle XIX George Bull va desenvolupar l'àlgebra de la lògica ("Estudi de les lleis del pensament"). Per tant l'àlgebra de la lògica també s'anomena àlgebra booleana.
Donant designacions de lletres, expressant les operacions de transformacions lògiques en símbols d'acció i utilitzant les regles i axiomes establerts per a aquestes accions, l'àlgebra de la lògica permet que el procés de raonament en la resolució d'un problema donat en termes de lògica d'enunciats es descrigui completament en algorismes. , és a dir, tenir un programa escrit matemàticament que resolgui aquest problema.
Per denotar la veritat o la falsedat d'enunciats (és a dir, per introduir valors per avaluar enunciats), l'àlgebra de la lògica utilitza un sistema binari, convenient en aquest cas. Si l'afirmació és certa, pren el valor 1, si és fals, pren el valor 0. A diferència dels nombres binaris, els 1 i 0 lògics no expressen una quantitat, sinó un estat.
Així, en els circuits elèctrics descrits mitjançant àlgebra de Boole, on 1 és la presència de tensió i 0 és la seva absència, el subministrament de tensions de diverses fonts a un node del circuit (és a dir, l'arribada de diverses unitats lògiques d'aquest) és també es mostra com a unitat lògica que indica no la tensió total al node, sinó només la seva presència.
Quan es descriuen els senyals d'entrada i sortida dels circuits lògics, s'utilitzen variables que prenen els valors només de 0 o 1 lògic. Es determina la dependència dels senyals de sortida de l'entrada. operació lògica (funció)… Denotem les variables d'entrada per X1 i X2, i la sortida obtinguda per una operació lògica sobre elles per y.
Pensar-hi tres operacions lògiques elementals bàsiques, amb l'ajuda de la qual se'n poden descriure de cada cop més complexes.
1. Operació OR — addició lògica:
Donats tots els valors possibles de les variables, es pot definir l'operació OR com la suficiència d'almenys una unitat a l'entrada per produir-ne una a la sortida. El nom de l'operació s'explica pel significat semàntic de la unió OR a la frase: «Si OR és una entrada O la segona és una, aleshores la sortida és una.»
2. Operació AND — multiplicació lògica:
A partir de considerar el conjunt complet de valors de les variables, l'operació AND es defineix com la necessitat de fer coincidir tots els de les entrades per obtenir-ne un a la sortida: "Si AND és una entrada i la segona és uns, llavors la sortida és una. «
3. Operació NOT — negació o inversió lògica. S'indica amb una barra a sobre de la variable.
Quan s'inverteix, el valor de la variable s'inverteix.
Lleis bàsiques de l'àlgebra lògica:
1. La llei del conjunt zero: el producte de qualsevol nombre de variables s'esvaeix si alguna de les variables és zero, independentment dels valors d'altres variables:
2. La llei del conjunt universal — la suma de qualsevol nombre de variables esdevé una si almenys una de les variables té el valor 1, independentment de les altres variables:
3. La Llei de la Repetició — Es poden ometre variables repetides en l'expressió (és a dir, no hi ha exponenciació i multiplicació per un coeficient numèric en àlgebra booleana):
4. La llei de la doble inversió — la inversió realitzada dues vegades és una operació buida:
5. Llei de complementarietat — El producte de cada variable i la seva inversa és zero:
6. La suma de cada variable i el seu recíproc és un:
7. Lleis protectores — el resultat de realitzar operacions de multiplicació i suma no depèn de l'ordre en què segueixen les variables:
8. Lleis combinades — Durant les operacions de multiplicació i suma, les variables es poden agrupar en qualsevol ordre:
9. Lleis de distribució — es permet posar el coeficient total fora dels parèntesis:
10. Lleis de l'absorció — indicar maneres de simplificar expressions que involucren una variable en tots els factors i termes:
11. Lleis de De Morgan — la inversió del producte és la suma de les inversions de les variables:
la inversió de la suma és el producte de les inversions de les variables:
