Lleis de contacte Àlgebra de circuits, àlgebra de Boole

Un registre analític de l'estructura i les condicions de funcionament dels circuits de relés permet realitzar transformacions analítiques equivalents de circuits, és a dir, transformant fórmules estructurals, trobant esquemes similars en el seu funcionament. Els mètodes de conversió estan especialment desenvolupats per a fórmules estructurals que expressen circuits de contacte.

Per als circuits de contacte, s'utilitza l'aparell matemàtic de l'àlgebra de la lògica, més precisament, una de les seves varietats més simples, anomenada càlcul de proposicions o àlgebra de Boole (d'acord amb el matemàtic del segle passat J. Boole).

El càlcul proposicional es va desenvolupar originàriament per estudiar la dependència (la veritat o falsedat dels judicis complexos sobre la veritat o la falsedat de les proposicions simples que els componen. En essència, el càlcul proposicional és una àlgebra de dos nombres, és a dir, una àlgebra en que cada argument individual i cada funció poden tenir un dels dos valors.

Això determina la possibilitat d'utilitzar l'àlgebra de Boole per transformar circuits de contacte, ja que cadascun dels arguments (contactes) inclosos en la fórmula estructural només pot prendre dos valors, és a dir, pot ser tancat o obert, i tota la funció representada per l'estructura estructural. la fórmula pot expressar un bucle tancat o obert.

L'àlgebra de Boole introdueix:

1) objectes que, com en l'àlgebra ordinària, tenen noms: variables i funcions independents; tanmateix, a diferència de l'àlgebra ordinària, en l'àlgebra de Boole només poden prendre dos valors: 0 i 1;

2) operacions lògiques bàsiques:

• addició lògica (o disjunció, OR lògic, denotada pel signe ?), que es defineix de la següent manera: el resultat de l'operació és 0 si i només si tots els arguments de l'operació són iguals a 0, en cas contrari el resultat és 1;

• multiplicació lògica (o concatenació, AND lògic, denotada amb ?, o no especificada en absolut) que es defineix de la següent manera: el resultat de l'operació és 1 si i només si tots els arguments de l'operació són iguals a 1, en cas contrari el resultat és 0;

• negació (o viceversa, NOT lògic, indicat amb una barra a sobre de l'argument), que es defineix de la següent manera: el resultat de l'operació té el valor oposat a l'argument;

3) axiomes (lleis de l'àlgebra de Boole), que defineixen les regles per transformar expressions lògiques.

Tingueu en compte que cadascuna de les operacions lògiques es pot realitzar tant sobre variables com sobre funcions, que a continuació s'anomenaran funcions booleanes... Recordem que, per analogia amb l'àlgebra ordinària, en l'àlgebra de Boole, l'operació de multiplicació lògica té preferència sobre la lògica. operació d'addició.

Les expressions booleanes es formen combinant operacions lògiques sobre una sèrie d'objectes (variables o funcions), anomenats arguments de l'operació.

La transformació d'expressions lògiques utilitzant les lleis de l'àlgebra de Boole s'acostuma a dur a terme amb l'objectiu de minimitzar, perquè com més simple és l'expressió, menor és la complexitat de la cadena lògica, que és la implementació tècnica de l'expressió lògica.

Les lleis de l'àlgebra de Boole es presenten com un conjunt d'axiomes i conseqüències. Aquests es poden comprovar simplement substituint diferents valors de les variables.

L'anàleg tècnic de qualsevol expressió lògica per a una funció booleana és un diagrama lògic... En aquest cas, les variables de les quals depèn una funció booleana estan connectades a les entrades externes d'aquest circuit, el valor d'una funció booleana es forma en el sortida externa del circuit, i cada operació lògica en una expressió lògica és implementada per un element lògic.

Així, per cada conjunt de senyals d'entrada a la sortida del circuit lògic, es genera un senyal que correspon al valor d'una funció booleana d'aquest conjunt de variables (més endavant, utilitzarem la següent convenció: 0 — nivell de senyal baix , 1 — alt nivell de senyal).

A l'hora de construir circuits lògics, assumirem que les variables s'alimenten a l'entrada en un codi de parafase (és a dir, tant els valors directes com els inversos de les variables estan disponibles).

La taula 1 mostra les designacions gràfiques convencionals d'alguns elements lògics d'acord amb GOST 2.743-91, així com els seus homòlegs estrangers.

A més dels elements que realitzen les tres operacions de l'àlgebra booleana (AND, O, NO), a la pestanya. A la figura 1 es mostren els elements que realitzen operacions derivades de les principals:

— AND -NOT — negació de la multiplicació lògica, també anomenada moviment de Schaefer (indicat per |)

— OR -NOT — negació del complement lògic, també anomenada fletxa de Peirce (indicada per ?)

En connectar les portes lògiques en sèrie, podeu implementar qualsevol funció booleana.

Les fórmules estructurals que expressen circuits de relé en general, és a dir, que contenen símbols d'àguiles que reaccionen, no es poden considerar funcions de dos valors que expressen només un circuit tancat o obert. Per tant, quan es treballa amb aquestes funcions, sorgeixen una sèrie de noves dependències que van més enllà dels límits de l'àlgebra de Boole.

En l'àlgebra de Boole, hi ha quatre parells de lleis bàsiques: dos desplaçaments, dos combinatoris, dos distributius i dues inversions legals. Aquestes lleis estableixen l'equivalència de diferents expressions, és a dir, consideren expressions que es poden substituir entre si com la substitució d'identitats en àlgebra ordinària. Com a símbol d'equivalència prenem el símbol que és el mateix que el símbol d'igualtat en àlgebra ordinària (=).

La validesa de les lleis de l'àlgebra de Boole per als circuits de contacte s'establirà considerant els circuits corresponents als costats esquerre i dret d'expressions equivalents.

Lleis de viatges

Per sumar: x + y = y + x

Els esquemes corresponents a aquestes expressions es mostren a la Fig. 1, a.

Els circuits esquerre i dret són normalment circuits oberts, cadascun dels quals es tanca quan s'activa un dels elements (X o Y), és a dir, aquests circuits són equivalents. Per a la multiplicació: x ·y = y ·NS.

Els esquemes corresponents a aquestes expressions es mostren a la Fig. 1b, la seva equivalència també és òbvia.

Arròs. 1

Lleis de la combinació

Per a la suma: (x + y) + z = x + (y + z)

Per a la multiplicació: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Els parells de circuits equivalents corresponents a aquestes expressions es mostren a la Fig. 2, a, b

Arròs. 2

Lleis de distribució

Multiplicació versus suma: (x + y) +z = x + (y + z)

Suma vs Multiplicació. x ·y + z = (x + z) ·(y + z)

Els esquemes corresponents a aquestes expressions es mostren a la Fig. 3, a, b.

Arròs. 3.

L'equivalència d'aquests esquemes es pot verificar fàcilment considerant diferents combinacions d'accionament de contacte.

Lleis de la inversió

A més: NS + c = NS·c

La barra a sobre del costat esquerre de l'expressió és un signe de negació o inversió. Aquest signe indica que tota la funció té el significat contrari respecte a l'expressió sota el signe de negació. No és possible dibuixar un diagrama corresponent a tota la funció inversa, però sí que es pot dibuixar un diagrama corresponent a l'expressió sota el signe negatiu. Així, la fórmula es pot il·lustrar amb els diagrames que es mostren a la Fig. 4, a.

Arròs. 4.

El diagrama de l'esquerra correspon a l'expressió x + y, i el de la dreta a NS ·c

Aquests dos circuits són oposats l'un a l'altre en funcionament, és a dir: si el circuit esquerre amb elements no excitats X, Y és un circuit obert, llavors el circuit dret està tancat. Si al circuit esquerre, quan s'activa un dels elements, el circuit es tanca, i al circuit dret, al contrari, s'obre.

Com que, segons la definició de signe negatiu, la funció x + y és la inversa de la funció x + y, aleshores és obvi que x + y = NS·in.

Pel que fa a la multiplicació: NS · c = NS + c

Els esquemes corresponents es mostren a la fig. 4, b.

Translocatives i combinacionals i lleis i la llei distributiva de la multiplicació respecte a la suma (corresponen a lleis similars de l'àlgebra ordinària).Per tant, en el cas de transformació de fórmules estructurals en l'ordre de suma i multiplicació de termes, col·locació de termes fora de claudàtors i ampliació de claudàtors, es poden seguir les regles establertes per treballar amb expressions algebraiques ordinàries. La llei distributiva de la suma respecte a la multiplicació i les lleis d'inversió són específiques de l'àlgebra de Boole.