La llei de Biot-Savart i el teorema de la circulació del vector d'inducció magnètica

L'any 1820, els científics francesos Jean-Baptiste Biot i Félix Savard, en el curs d'experiments conjunts per estudiar els camps magnètics dels corrents continus, van establir inequívocament que la inducció magnètica d'un corrent continu que travessa un conductor es pot considerar el resultat de la acció general de totes les seccions d'aquest cable amb corrent. Això vol dir que el camp magnètic obeeix al principi de superposició (principi de superposició de camps).

El camp magnètic creat per un grup de cables de corrent continu té el següent inducció magnèticaque el seu valor es defineix com la suma vectorial de les induccions magnètiques creades per cada conductor per separat. És a dir, la inducció B del conductor de corrent continu es pot representar correctament per la suma vectorial de les induccions elementals dB pertanyents a les seccions elementals dl del conductor de corrent continu considerat I.

És pràcticament poc realista aïllar una secció elemental d'un conductor de corrent continu, perquè D.C. sempre tancat.Però podeu mesurar la inducció magnètica total creada per un cable, és a dir, generada per totes les parts elementals d'un cable determinat.

Així, la llei de Biot-Sovar permet trobar el valor de la inducció magnètica B de la secció (longitud coneguda dl) del conductor, amb un corrent continu donat I, a una certa distància r d'aquesta secció del conductor i en un certa direcció d'observació de la secció seleccionada (establerta a través del sinus de l'angle entre la direcció del corrent i la direcció des de la secció del conductor fins al punt examinat a l'espai proper al conductor):

Es va establir experimentalment que la direcció del vector d'inducció magnètica es determina fàcilment per la regla del cargol de la dreta o del cardan: si la direcció del moviment de translació del cardan durant la seva rotació coincideix amb la direcció del corrent continu I al cable, aleshores sentit de gir del mànec del cardà determina la direcció del vector d'inducció magnètica B produït per un corrent donat.

A la figura es mostren el camp magnètic d'un cable recte que transporta corrent, així com una il·lustració de l'aplicació de la llei de Bio-Savart:

Per tant, si integrem, és a dir, sumem, la contribució de cadascuna de les petites seccions d'un conductor de corrent constant al camp magnètic total, obtenim una fórmula per trobar la inducció magnètica d'un conductor de corrent a un radi R determinat a partir d'aquest. .

De la mateixa manera, utilitzant la llei de Bio-Savard, podeu calcular les inducció magnètica a partir de corrents continus de diferents configuracions i en determinats punts de l'espai, per exemple, la inducció magnètica al centre d'un circuit circular amb un corrent es troba per la fórmula següent:

La direcció del vector d'inducció magnètica es troba fàcilment segons la regla del gimbal, només que ara el cardan s'ha de girar en la direcció del corrent tancat i el moviment cap endavant del cardan mostrarà la direcció del vector d'inducció magnètica.

Sovint els càlculs respecte al camp magnètic es poden simplificar si tenim en compte la simetria de la configuració de corrents donada pel camp generador. Aquí podeu utilitzar el teorema de la circulació del vector d'inducció magnètica (com el teorema de Gauss en electroestàtica). Què és la «circulació del vector d'inducció magnètica»?

Escollim a l'espai un determinat bucle tancat de forma arbitrària i indiquem condicionalment la direcció positiva del seu recorregut.Per a cada punt d'aquest bucle, podeu trobar la projecció del vector d'inducció magnètica B sobre la tangent al bucle en aquest punt. Aleshores, la suma dels productes d'aquestes magnituds per les longituds elementals de totes les seccions del contorn és la circulació del vector d'inducció magnètica B al llarg d'aquest contorn:

Pràcticament tots els corrents que creen un camp magnètic general aquí poden penetrar al circuit considerat, o alguns d'ells poden estar fora d'ell. Segons el teorema de la circulació: la circulació del vector d'inducció magnètica B de corrents directes en un bucle tancat és numèricament igual al producte de la constant magnètica mu0 per la suma de tots els corrents continus que penetren en el bucle. Aquest teorema va ser formulat per Andre Marie Ampere el 1826:

Considereu la figura anterior. Aquí, els corrents I1 i I2 penetren al circuit, però es dirigeixen en diferents direccions, la qual cosa significa que tenen signes condicionalment diferents.El signe positiu tindrà un corrent la direcció del qual d'inducció magnètica (segons la regla bàsica) coincideix amb la direcció de la derivació del circuit seleccionat. Per a aquesta situació, el teorema de la circulació pren la forma:

En general, el teorema per a la circulació del vector d'inducció magnètica B se segueix del principi de superposició del camp magnètic i la llei de Biot-Savard.

Per exemple, obtenim la fórmula per a la inducció magnètica d'un conductor de corrent continu. Escollim un contorn en forma de cercle, pel centre del qual passa aquest cable, i el cable és perpendicular al pla del contorn.

Així, el centre del cercle es troba directament al centre del conductor, és a dir, al conductor. Com que la imatge és simètrica, el vector B està dirigit tangencialment a la circumferència i, per tant, la seva projecció sobre la tangent és igual a tot arreu i és igual a la longitud del vector B. El teorema de la circulació s'escriu de la següent manera:

Per tant, segueix la fórmula per a la inducció magnètica d'un conductor recte amb corrent continu (aquesta fórmula ja s'ha donat més amunt). De la mateixa manera, utilitzant el teorema de la circulació, es poden trobar fàcilment les induccions magnètiques de configuracions de CC simètriques on la imatge de les línies de camp és fàcil de visualitzar.

Un dels exemples pràcticament importants de l'aplicació del teorema de la circulació és trobar el camp magnètic dins d'un inductor toroidal.

Suposem que hi ha una bobina toroidal enrotllada de rodona a rodona sobre un marc de cartró en forma de bunyol amb el nombre de voltes N. En aquesta configuració, les línies d'inducció magnètica estan tancades dins del bunyol i tenen forma de cercles concèntrics (l'un dins de l'altre). .

Si mireu en la direcció del vector d'inducció magnètica al llarg de l'eix interior del bunyol, resulta que el corrent es dirigeix ​​a tot arreu en el sentit de les agulles del rellotge (segons la regla del cardan). Considereu una de les línies (mostrades en vermell) d'inducció magnètica dins de la bobina i trieu-la com un bucle circular de radi r. Aleshores, el teorema de circulació d'un circuit donat s'escriu de la següent manera:

I la inducció magnètica del camp dins de la bobina serà igual a:

Per a una bobina toroidal prima, on el camp magnètic és gairebé uniforme en tota la seva secció transversal, és possible escriure l'expressió de la inducció magnètica com si fos un solenoide infinitament llarg, tenint en compte el nombre de voltes per unitat de longitud. n:

Penseu ara en un solenoide infinitament llarg on el camp magnètic es troba completament dins. Apliquem el teorema de la circulació al contorn rectangular seleccionat.

Aquí el vector d'inducció magnètica donarà una projecció diferent de zero només al costat 2 (la seva longitud és igual a L). Utilitzant el paràmetre n — «el nombre de voltes per unitat de longitud», obtenim una forma del teorema de circulació, que finalment es redueix a la mateixa forma que per a una bobina toroidal multitonCoy: