Sistemes de numeració
Un sistema numèric és un conjunt de regles per representar nombres mitjançant diferents signes numèrics. Els sistemes numèrics es classifiquen en dos tipus: no posicionals i posicionals.
En els sistemes de numeració posicional, el valor de cada xifra no depèn de la posició que ocupa, és a dir, del lloc que ocupa en el conjunt de dígits. En el sistema de numeració romana només hi ha set dígits: un (I), cinc (V), deu (X), cinquanta (L), cent (C), cinc-cents (D), mil (M). Utilitzant aquests nombres (símbols), els nombres restants s'escriuen mitjançant la suma i la resta. Per exemple, IV és la notació del número 4 (V — I), VI és el nombre 6 (V + I), i així successivament. El nombre 666 s'escriu en el sistema romà de la següent manera: DCLXVI.
Aquesta notació és menys convenient que la que fem servir actualment. Aquí s'escriu sis amb un símbol (VI), sis desenes amb un altre (LX), sis-cents tercers (DC). És molt difícil realitzar operacions aritmètiques amb nombres escrits en el sistema de numeració romana. A més, un desavantatge comú dels sistemes no posicionals és la complexitat de representar-hi nombres prou grans com per tal que resulti en una notació extremadament feixuga.
Ara considereu el mateix nombre 666 al sistema de numeració posicional. En ell, un únic signe 6 significa el nombre d'uns si està a l'últim lloc, el nombre de desenes si està al penúltim lloc i el nombre de centenes si està en tercer lloc des del final. Aquest principi d'escriptura de nombres s'anomena posicional (local). En aquest enregistrament, cada dígit rep un valor numèric que depèn no només del seu estil, sinó també d'on es troba quan s'escriu el nombre.
En el sistema de numeració posicional, qualsevol nombre representat com A = +a1a2a3 … ann-1an es pot representar com una suma
on n — nombre finit de dígits a la imatge d'un nombre, ii nombre dígit i-go, d — base del sistema numèric, i — nombre ordinal de la categoria, dm-i — "pes" de la categoria i-ro . Els dígits ai han de satisfer la desigualtat 0 <= a <= (d — 1).
Per a la notació decimal, d = 10 i ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Com que els nombres formats per uns i zeros es poden percebre com a nombres decimals o binaris quan s'utilitzen junts, normalment s'indica la base del sistema numèric, per exemple (1100)2-binari, (1100)10-decimal.
En els ordinadors digitals, els sistemes diferents del decimal s'utilitzen àmpliament: binaris, octals i hexadecimals.
Sistema binari
Per a aquest sistema d = 2 i aquí només es permeten dos dígits, és a dir, ai = 0 o 1.
Qualsevol nombre expressat en el sistema binari es representa com la suma del producte de la potència de la base dues vegades el dígit binari del bit donat. Per exemple, el número 101,01 es pot escriure així: 101,01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, que correspon al nombre del sistema decimal: 4 + 1 + 0,25 = 5,25 .
A la majoria d'ordinadors digitals moderns, el sistema de nombres binari s'utilitza per representar nombres en una màquina i realitzar-hi operacions aritmètiques.
El sistema de numeració binari, en comparació amb el decimal, permet simplificar els circuits i circuits del dispositiu aritmètic i del dispositiu de memòria i augmentar la fiabilitat de l'ordinador. El dígit de cada bit d'un nombre binari està representat pels estats "on / off" d'elements com transistors, díodes, que funcionen de manera fiable en els estats "on / off". Els desavantatges del sistema binari inclouen la necessitat de traduir segons un programa especial les dades digitals originals al sistema de nombres binaris i els resultats de la decisió a decimals.
Sistema de numeració octal
Aquest sistema té la base d == 8. Els nombres s'utilitzen per representar nombres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
El sistema de numeració octal s'utilitza a l'ordinador com a ajuda per preparar problemes per resoldre (en el procés de programació), per comprovar el funcionament d'una màquina i per depurar un programa. Aquest sistema dóna una representació més curta del nombre que el sistema binari. El sistema de numeració octal us permet canviar simplement al sistema binari.
Sistema de numeració hexadecimal
Aquest sistema té la base d = 16. S'utilitzen 16 caràcters per representar números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F i el els caràcters A … F representen els nombres decimals 10, 11, 12, 13, 14 i 15. El nombre hexadecimal (1D4F) 18 correspondrà al decimal 7503 perquè (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 x 161+ 15 x 16O = (7503)10
La notació hexadecimal permet escriure nombres binaris de manera més compacta que octal. Troba aplicació en dispositius d'entrada i sortida i dispositius de visualització d'ordre numèric d'alguns ordinadors.
Sistema de numeració binari-decimal
La representació dels nombres en el sistema binari-decimal és la següent. Es pren com a base la notació decimal del nombre i, a continuació, cadascun dels seus dígits (de 0 a 9) s'escriu en forma d'un nombre binari de quatre dígits anomenat tètrade, és a dir, no s'utilitza cap signe per representar. cada dígit del sistema decimal, però quatre.
Per exemple, el decimal 647,59 correspondria a BCD 0110 0100 0111, 0101 1001.
El sistema de nombres binari-decimal s'utilitza com a sistema de numeració intermedi i per codificar números d'entrada i sortida.
Regles per transferir un sistema de numeració a un altre
L'intercanvi d'informació entre dispositius informàtics es realitza principalment a través de nombres representats en el sistema de numeració binari. No obstant això, la informació es presenta a l'usuari en nombres en el sistema decimal i l'adreça d'ordres es presenta en el sistema octal. D'aquí la necessitat de transferir números d'un sistema a un altre en el procés de treballar amb un ordinador. Per fer-ho, utilitzeu la següent regla general.
Per convertir un nombre sencer de qualsevol sistema numèric a un altre, cal dividir successivament aquest nombre per la base del nou sistema fins que el quocient no sigui menor que el divisor. El nombre del nou sistema s'ha d'escriure en forma de restes de divisió, començant per l'últim, és a dir, de dreta a esquerra.
Per exemple, convertim el decimal 1987 a binari:
El nombre decimal 1987 en format binari és 11111000011, és a dir. (1987)10 = (11111000011)2
Quan es passa de qualsevol sistema a decimal, el nombre es representa com la suma de les potències de la base amb els coeficients corresponents, i després es calcula el valor de la suma.
Per exemple, convertim el nombre octal 123 en decimal: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, és a dir. (123)8 = (83)10
Per transferir la part fraccionària d'un nombre d'un sistema a un altre, cal realitzar multiplicacions successives d'aquesta fracció i de les parts fraccionàries resultants del producte a partir del nou sistema numèric. La part fraccionària d'un nombre en el nou sistema es forma en forma de parts senceres dels productes resultants, començant pel primer. El procés de multiplicació continua fins que es calcula un nombre amb una precisió determinada.
Per exemple, convertim la fracció decimal 0,65625 al sistema de nombres binaris:
Com que la part fraccionària del cinquè producte consta només de zeros, no cal fer una multiplicació addicional. Això vol dir que el decimal donat es converteix en binari sense error, és a dir. (0,65625)10 = (0,10101)2.
Convertir d'octal i hexadecimal a binari i viceversa no és difícil. Això es deu al fet que les seves bases (d — 8 i d — 16) corresponen a nombres enters de dos (23 = 8 i 24 = 16).
Per convertir nombres octals o hexadecimals a binaris, n'hi ha prou amb substituir cadascun dels seus nombres per un nombre binari de tres o quatre dígits, respectivament.
Per exemple, traduïm el nombre octal (571)8 i el nombre hexadecimal (179)16 al sistema de nombres binari.
En tots dos casos obtenim el mateix resultat, és a dir. (571)8 = (179)16 = (101111001)2
Per convertir un nombre de decimal binari a decimal, heu de substituir cada tètrade del nombre representat en decimal binari per un dígit representat en decimal.
Per exemple, escrivim el nombre (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 en notació decimal, és a dir. (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218.625)